تبلیغات
گروه ریاضیات دانشگاه علوم پایه دامغان - تابع یک به یک و پوشا و همانی
 
گروه ریاضیات دانشگاه علوم پایه دامغان

دید کلی:

تابع f:x→y را در نظر می گیریم. منظور از تابع f، تصویر قلمرو آن است. یعنی مجموعه f(x)={f(x)│
معمولا تصویر تابع f:x→y را با نماد Im(f) نشان می دهند: بنابراین داریم: Im(f)=f(x)
به عنوان مثال، اگر تابع f، تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y باشد، آنگاه تصویر تابع f یعنی Im(f) برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود.
در حالت کلی، در مورد تابع دلخواه f(x), f:x→y معمولا با y براتبر نیست. مثلا درمثال تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y، سایه جانور یعنی f(x) معمولا نباید تمام دیوار را بپوشاند. البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم.
در این حالت f را تابعی از مجموعه x به روی مجموعه y یا به طور خلاصه f را پوشا می نامیم.

تعریف تابع پوشا

تابع f:x→y را پوشا می نامیم اگر تنها f(x)=y

تعریف کلی برای تابع پوشا یا تابع در روی مجموعه ها:

گیریم f تابعی است که ناحیه تعریف آن x و ناحیه مقصد آن y باشد، یعنی تصویر x به توی y باشد:
در اینصورت مقادیر این تابع که آن ما با f(x) نشان می دهیم، یک زیر مجموعه ای است از مجموعه y ، یعنی f(x) cy یعنی اگر ناحیه مقصد y و ناحیه مقادیر تابع f(x) یکسان باشند، در اینصورت f تابعی از x در روی y است یا f "x را در روی y تصویر می کند". یا به طور ساده گویند f یک تابع پوششی است.
در این حالت از تابع هریک از عناصر ناحیه مقصد، افلا تصویر یکی از عناصر ناحیه تعریف تابع (x) می باشند.

مثالی از تابع پوشا:

1) تابع جز صحیح Ө:R→Z از مجموعه اعداد حقیقی به مجموعه اعداد صحیح که هر عدد حقیقی x را به جز صحیح x نظیر می کند.
Ө(x)=x
پوشاست. ولی تابع قدر مطلق α:R→R از مجموعه اعدادحقیقی به خودش که هر عدد حقیقی x را به قدر مطلق آن نظیر می کند.
Α(x)=│x│
پوشا نیست. چون اگر منحنی تابع قدر مطلق را رسم کنیم این منحنی فقط اعداد حقیقی مثبت را شامل میشود که با تعریف تابع قدر مطلق که تمام اعداد حقیقی را شامل میشود تناقص دارد. پس تابع قدر مطلق پوشا نیست.

تابع یک به یک:

تابع دلخواه f:x→y را در نظر می گیریم. فرض می کنیم b,a دو عنصر دلخو.اه متعلق به قلمرو f باشند. بر حسب تعریف تابع، تصاویر f(b),f(a) می توانند هر عنصری از مجموعه y یا برد f باشند. بنابراین ممکن است داشته باشیم.
F(a)=f(b)
مثلا تابع قدر مطلق α:R→R را در نظر می گیریم. واضح است که برای هر عدد حقیقی a داریم
Α(a)=a(-a)
البته ممکن است که برای تابع خاص f:x→y به ازای هیچ دو عنصر b,a از قلمرو f، تساوی امکان پذیر نباشد. توابعی را که دارای ان خاصیت مهم باشند، یک به یک می نامیم.

تعریف تابع یک به یک:

تابع f:x→y را یک به یک می نامیم، اگر و تنه اگر، تصاویر عناصر متمایز قلمرو f متمایز باشند. به عبارت دیگر، تابع f:x→y یک به یک است اگر و تنها اگر برای هر دو عنصر دلخواه x2,x1 از قلمرو f که f(x1)=f(x2) نتیجه شود a=b مثلا، تابع شمول i:x→y که و برای هر با ضابطه تعریف می شود، تابعی یک به یکی است. در حالی که هیچ یگ از تواغبع جز صحیح Ө:R→Z و قدرمطلق α:R→R، یک به یک نیستند.

تشخیص یک به یک بودن:

اگر f یک به یک باشد، هر خط موازی محور x ها را حداکثر در یک نقطه قطعه می کند. در غیر این صورت f یک به یک نخواهد بود.

تابع دوسویی:

تابع f:x→y را دو سویی می نامیم، اگرو تنها اگر یک به یک و پوشا باشد.
به عنئوانمثال: تابع f:R→R که درجه فارنهایت را به درجه سانتیگراد تبدیل می کند تابع دو سویی است برای هر مجموعه دلخواه x، تابع همانی i:x→x که برای هر با ضابطه i(x)=x تعریف می شود، تابعی دو سویی است. یعنی هم یک به یک و هم پوشا می باشد.

رابطه یک به یک بودن با صعودی یا نزولی بودن:

اگر تابع f صعودی یا نزولی باشد، آنگاه یک به یک خواهد بود. ولی هر تابع یک به یک، صعودی یا نزولی نیست.

تابع همانی:
می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:

این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:

پس ضابطه تابع همانی به این صورت است:

اثبات تابع بودن رابطه همانی:
اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد: برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم:

واضح است که:

پس این رابطه تابع است.
  • از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با اعداد حقیقی و توابع حقیقی کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:
تابع را با ضابطه تابع همانی می گوییم.
نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید:
تصویر

  • بررسی ویژگی های تابع همانی:

  • تابع همانی تابعی است که معکوس آن با خودش برابر است.
برهان: کافی است نشان دهیم اگر آنگاه برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم:

مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.
این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.

  • تابع همانی تابعی فرد است.
برهان: باید نشان دهیم
داریم:

همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.

  • تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک تابع دو سویی(تناظر یک به یک) است.
برهان: ابتدا نشان می دهیم این تابع، تابع یک به یک است:
به این منظور باید نشان دهیم:

اگر باشد طبق تعریف داریم: و از این عبارت نتیجه می شود که: . پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است.
حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم:


و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع پوشا است.
حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.



آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :