تبلیغات
گروه ریاضیات دانشگاه علوم پایه دامغان - جبر مجرد
 
گروه ریاضیات دانشگاه علوم پایه دامغان

img/daneshnameh_up/1/1c/jabrvalmoghabele.jpg


جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد.
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه‌های زیادی است.

تاریخچه

تاریخچه‌ی این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز ، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است . در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.

کتاب جبر و المقابله ی خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمه‌ی جبر یا‌ Algebra از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت.
درقرن 16 میلادی ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو (Scipione del Ferro) و معادلات درجه چهارم توسط فراری (Ludovico Ferrari )کشف گردید.

اواریست گالوا ( Évariste Galois ) ، ریاضی‌دان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته‌های او ، سال‌ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضی‌دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.

نیلز هنریک ابل ( Niels Henrik Abel ) نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درجه 5 به بالا ،‌بوسیله‌ی رادیکال‌ها حل پذیر نیستند.

کارل فریدریش گاوس ( Carl Friedrich Gauss )،‌ ریاضی دان آلمانی که تاثیرات ژرفی د رتوسعه ی شاخه های مختلف برداشته ، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهم‌ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می‌باشد.

پس از کارهای اویلر ،‌ لاگرانژ ، گاوس ،‌ کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظر های شاخه‌هایی از این علم با شاخه‌هایی از هندسه ،‌ این علم در شاخه‌های مختلف پیش رفت.
از جمله بزرگ‌ترین پیشرفت های جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس‌بندی گروه‌های ساده‌ی متناهی می‌باشد.

کلاس‌بندی

  • جبر مقدماتی:در این شاخه از جبر ، ویژگیهای اعمال چهارگانه در دستگاه اعداد حقیقی ثبت می‌شود.علائمی تعریف می‌شوند که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌گردد و روش هایی که برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد.


  • جبر خطی: به بررسی فضاهای برداری و نگاشت‌های خطی بین این فضاها می‌پردازد و کاربدهای فراوان در شاخه‌های مختلف علم دارد.


مقدمه و معرفی


شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند. مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو". و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد. اینها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده شی سومی را پدید می‌آورند. اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهمترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی می‌کنیم.

عمل دوتایی


یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو چون C از G را نسبت می‌دهد. لازم به ذکر است که . با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:
  • عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
  • عمل دوتایی * یک تابع خوش‌تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
  • حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
  • عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی * می‌شود، معمولا با * یا نمایش میدهیم.
اگر * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*,G) برای هر (a,b) عضو G×G حاصل عمل * روی (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولا برای سهولت در نوشتن a*b را به صورت ab می‌نویسیم. همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه‌ را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان می‌دهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد. اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b نشان می‌دهیم.

نمونه‌هایی از اعمال دوتایی



  • مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید ، را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.
  • مجموعه اعداد طبیعی N را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است: اما عمل فوق در Z و Q عمل دوتایی نمی‌باشد.(چرا؟) ولی در R عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.
  • عمل * را در مجموعه A به صورت زیر تعریف می‌کنیم: عمل * در A=Q یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود که متعلق به Q نیست. همچنین است درباره َA=R .

بسته بودن نسبت به یک عمل دوتایی


مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی Z برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. حال مجموعه اعداد صحیح زوج که زیرمجموعه‌ای از Z است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج عدی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است. به عبارت برای هر داریم در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است. اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلا مجموعه اعداد صحیح فرد را در نظر بگیرید. مجموعه دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر داریم . در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.

اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ازای هر داشته باشیم به عنوان مثال:
  • مجموعه های تحت عمل جمع بسته می‌باشند.
  • مجموعه های تحت عمل تقسیم بسته نیستند.

ویژگی‌های عمل دوتایی


یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد که به بررسی آنها می‌پردازیم:

خاصیت شرکت پذیری

فرض کنید * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G باشد. در این صورت می‌گوییم عمل * روی G شرکت پذیر است هرگاه برای هر a,b,c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: به عنوان مثال:
  • در Z عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم: Z تحت عمل * شرکت پذیر است.
  • روی مجموعه Z عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم : عمل * روی Z خاصیت شرکت پذیری دارد.
  • عمل تفاضل در R خاصیت شرکت پذیری ندارد.

نیم‌گروه

مجموعه یک نیم‌گروه است هر گاه عمل * روی G شرکت پذیر باشد. به عنوان مثال:
  • N تحت جمع نیم‌گروه است.
  • Z تحت تفاضل نیم‌گروه نیست.
  • هرگاه F مجموعه توابع پیوسته به روی R باشد ، آنگاه F تحت عمل جمع ، یک نیم‌گروه است.
  • مجموعه توابع تعریف شده روی R تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیم‌گروه است.

خاصیت جابجایی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد. در این صورت عمل * را روی G جابجایی می‌گوییم هر‌گاه برای هر دو عضو a و b متعلق به مجموعه G داشته باشیم a*b=b*a. به عنوان مثال عمل جمع اعداد روی اعداد طبیعی عملی جابجایی است و عمل تفریق روی مجموعه اعداد حقیقی دارای خاصیت جاجایی نمی‌باشد.

عضو خنثی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف در G باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * می‌گوییم هرگاه برای هر a متلقع به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a
اگر e عضو G چنان باشد که برای هر a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست می‌گوییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=a آنگاه e را عضو خنثی چپ می‌گوییم. به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریس‌های مربعی از مرتبه n ماتریس همانی است.
حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا یک مجموعه نسبت به یک عمل دوتایی می‌تواند دارای دو عضو خنثی باشد. پاسخ در قضیه زیر است که می گوید:
قضیه: عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود منحصر بفرد است.
  • برهان: فرض کنید (*,G) یک ساختمان جبری با دو عضو خنثی و باشد. در این صورت چون و e عضو خنثی G نسبت به عمل * است داریم . و چون و عضو خنثی G است داریم که دو تساوی اخیر نشان می دهد و حکم ثابت می شود.

عضو وارون

فرض کنید G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد و e عضو خنثی G نسبت به عمل * باشد. در این صورت عضو a متعلق به G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) می‌نامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e. همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر b چنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِی‌نامیم.



در ریاضیات، گروه، مجموعه‌ای است که یک عمل دوتایی ازقبیل جمع،ضرب و... روی آنها تعریف می‌کنند.برای مثال مجموعه اعداد صحیح یک گروه تحت عمل جمع است.
شاخه‌ای از ریاضیات که بر روی گروهها مطالعه می‌کند، نظریه گروه‌ها است.از نظر تاریخی مبدا این نظریه به کارهای اواریست گالوابرمی‌گردد.او همچنین در کارهای قبلی خود به طور محسوس از جایگشت استفاده کرده بود.
گروهها در خیلی از ساختارهای جبری از قبیل میدان و فضای برداری دیده می‌شوند و ابزار مهمی برای مطالعه تقارن است. به همین دلیل است که نظریه گروه‌ها به عنوان یکی از مهترین مباحث در ریاضیات مدرن است.
بدون تردید یکی از جذاب ترین ویژگیه‌ای ریاضیات جدید دوگانگی مابین موضوعات مختلف در آن است. برای مثال اگر جبر، آنالیز، توپولوژی و یا منطق ریاضی را مطالعه کنیم، مشاهده می‌کنیم که ایده‌های خاصی در تمام این شاخه‌ها مطرح می‌شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده‌هاست که همه جا ظاهر می شود.علی‌الخصوص درمطالعه‌ی اشیاء توپولوژیک که پوانکاره با بوجود آوردن علم توپولوژی جبری گام بزرگی را در پیشرفت هندسه و توپولوژی برداشت. بعلاوه در رشته های دیگری از علوم، مانند شیمی، مکانیک کوانتوم و فیزیک ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می رود، گروه‌ها اهمیت بسزایی دارند.

تعریف

فرض کنید که G یک مجموعه و * یک عمل دوتایی (یک تابع از به توی G ) بوده و * دارای خواص زیر باشد:
  • عمل * شرکت پذیری باشد ،
  • G تحت * دارای عضو خنثی باشد : عضوی مانند e در G وجود دارد به طوریکه به ازای هر x در G داریم: x*e=e*x=x ،
  • G تحت * دارای عضو معکوس باشد : به ازای هر x عضو در G عضوی مانند y در G وجود دارد به طوریکه : x*y=y*x=e ،

در اینصورت G همراه با عمل دوتایی * گروه نامیده می شود و آنرا با (G, * ) نمایش می دهیم.


توجه کنید که از شرط دوم نتیجه می‌گیریم که G غیرتهی است.
عضو e در G عضو همانی نام دارد که فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجود دارد و در نتیجه خواهیم توانست آنرا عضو همانی بنامیم. عضو y در شرط سوم معکوس x نام دارد.
هر عضوی از یک گروه مانند x فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می توانیم آنرا معکوس x بنامیم.
عضو منحصر بفرد همانی e معادلات x*e=e*x=x را به ازای هر x در G ارضا می کند. حال آنکه Y در شرط سوم به x بستگی دارد. خواهیم دید که دو عضو متمایز G هیچ‌وقت نمی توانند معکوس های برابری داشته باشند و در نتیجه اعضای متفاوت x, معکوس های متفاوتی همچون y خواهند داشت.
همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که * یک عمل جابجائی است. گروههایی که عمل آنها خاصیت جابجایی است گروههای آبلی نام دارند. این نامگذاری به افتخار ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1829 ـ 1802) صورت گرفته است.گروه‌هایی را که آبلی نیستند ، گروه‌های نا‌آبلی گویند.
مفهوم مجرد گروه زمانی شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می کردند دارای مشخصه های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنها قوت گرفت که شاید بتوان با مطالعه مجرد این ویژگیهای مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوئی در وقت و دست یافت. در تحلیل پیشرفتهای این موضوع اریک تمپل بل یادآور شده است که هرزمان گروهها خود را ظاهر می سازند و یا می توان آنها را معرفی کرد، سادگی و وضوح از لابلای دریختگی ها درخشش می یابد.

مثال‌هایی از گروه‌ها





گروه را یک گروه دوری می نامند هر گاه توسط یک عنصر خودش تولید شود.


مولد گروه دوری

فرض کنیم یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند گروه را پدید آورد ، می نویسیم و را مولد گروه می‌نامیم.
  • مولد هر گروه لزوما منحصر به فرد نیست.
  • در گروه عدد مولد است که
  • اگر گروه ضربی باشد و مولد باشد ، آنگاه
  • اگر گروه جمعی باشد و مولد باشد ، آنگاه

قضیه‌ها

1. هر گروه دوری جابجایی است.

اثبات:
فرض می‌کنیم گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه . بنابراین هر عضو به صورت توانی از است . حال فرض می‌کنیم عناصر دلخواه را داریم. در نتیجه:

لذا:

پس گروه جابجایی است.

تذکر:
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال گروه چهارتایی کلاین ، ، گروه جابجایی است اما دوری نیست.

2. هر زیرگروه یک گروه دوری ، دوری است.

اثبات:
فرض می‌کنیم یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند وجود دارد که .یعنی هر عنصری از به صورت توانی از است.
حال فرض می‌کنیم یک زیرگروه دلخواهی از باشد. نشان می‌دهیم دوری است:
اما چون بنابراین هر عضو نیز به صورت توانی از است. بنا براین یک عدد طبیعی مانند وجود دارد که .
فرض می‌کنیم کوچکترین عدد طبیعی باشد که . با فرض ثابت می‌کنیم توسط تولید می‌شود:
حال فرض می‌کنیم عنصر دلخواهی از باشد. بنابراین می‌توان در نظر گرفت که . طبق الگوریتم تقسیم داریم:

در نتیجه:

چون کوچکترین عدد طبیعی است که و، بنابراین عدد طبیعی نیست. پس برای فقط اتنخاب ممکن است . پس:

که به این معنا است که دوری است و مولد آن است.


جایگشت





اگر به عنوان n شی دو به دو متمایز باشند آنگاه هر حال کنار هم قرار گرفتن این n شی کنار هم در یک ردیف را یک جایگشت از این n شی می گوییم. برای ردیف کردن این n شی کنار هم به n مکان نیاز است. برای قرار دادن اولین شی در خانه اول n حالت انتخاب داریم. برای قرار دادن دومین شی در خانه دوم n-1 حالت انتخاب داریم و به همین ترتیب برای قرار داردن n امین شی باقی مانده در خانه nام(خانه اخر) 1 حالت انتخاب داریم به این ترتیب بر طبق اصل ضرب برای قرار دادن این n شی در کنار هم در یک ردیف:
حالت وجود دارد که برابر می باشد با:
به این ترتیب تعداد حالات جایگشت n شی دو به دو متمایز برابر است.

مثال: به چندطریق می توان 5 کتاب متفاوت را کنار هم در یک قفسه قرار داد؟

پاسخ: برطبق توضیحات داده شده جواب برابر است با:

جایگشت خود می توان به 2 بخش تقسیم شود:
1- جایگشت با تکرار
2- جایگشت دوری

جایگشت با تکرار:

در قسمت قبل در مورد گونه ای جایگشت توضیح دادیم که در آن اشیا در به دو متمایز بودند اما گاهی ممکن است این اشیا در به دو متمایز نباشند و مثلا 3 عدد از انها از یک نوع باشند. چنین حالاتی را جایگشت باتکرار بررسی می کند.
با یک مثال روش محاسبه را توضیح می دهیم و سپس فرمولی برای محاسبه حالات بیان می کنیم:

فرض کنید می خواهیم فقط با ارقام 1.2.2.3 اعداد چهار رقمی بسازیم. یعنی عدد 1 یکبار، عدد 2 دو بار، عدد 3 یکبار
آمده باشد. بدیهی است که اگر این چهار رقم متمایز و به غیر صفر بودند تعداد اعداد برابر 24=!4 عدد می شد ولی اصل ضرب در این مورد ناخواسته دو عدد 2 را متمایز در نظر گرفته است و مثلا 1223 و 1223 را دو حالت متمایز در یظر گرفته است در حالی که این دو تفاوتی با هم ندارند. با نوشتن تعداد حالات متوجه میشویم که تعداد حالات واقعی این جایگشت !2 برابر مقدار محاسبه شده با اصل ضرب است به این ترتیب تعداد حالات واقعی برابر است.
پس به این ترتیب تعداد k شی از یک نوع، به اندازه !K حالات اضافه تولید می کنند که باید از کل حالات که با اصل ضرب محاسبه می شود برداشته شوند.

تعریف: اگر n شی در اختیار داشته باشیم که تا از نوع اول، تا از نوع دوم، تا از نوع سوم،....و تا از نوع k ام باشند به گونه ای که این n شی به طریق می توانند در کنار هم قرار بگیرند.
در فرمول فوق علت تــقسیمها حذف حالات اضافی بوجود آمده است.

مثال: 8 پرچم موجوداند که 3تا به رنگ آبی و 2تا به رنگ قرمز و 3تا به رنگ سفید یکسان هستند.اگر قرار باشد این پرچم ها در یک ردیف کنار هم قرار گیرند چند علامت متمایز 8 پرچمی می توان ساخت؟

پاسخ:بر طبق مطالب فوق و فرمول ارائه شده تعداد حالات برابر است با:
واضح است که در این سوال پرچمهای آبی !3 و قرمز !2 و سفید !3 حالت اضافی تولید می کنند که باید از حالات کل یعنی !8 حذف شوند.

جایگشت دوری:

تا به حال در مورد جایگشتهایی بحث کردیم که در مورد کنار هم قرار دادن چند شی در یک ردیف بودند. حال می خواهیم
گونه ای جایگشت را بررسی کنیم که در آن اشیا به صورت دوری در کنار هم قرار گیرند. با یک مثال نحوه محاسبه تعداد حالات جایگشت را توضیح می دهیم و در نهایت فرمولی برای محاسبه ان ارائه می دهیم:
فرض کنید می خواهیم تعداد حالاتی را که ممکن است 3 نفربه دور یک میز گرد بنشینند محاسبه کنیم. اگر قرار بر این بود که این افراد در یک ردیف کنار هم باشند این عمل به 6=!3 حالت صورت می پذیرفت. اما در نشستن به دور میز گرد مسئله متفاوت است چرا که بر طبق شکل در این جایگشت هر 3 حالت:
تصویر

یک حالت محسوب می شوند چرا که هر یک دوران یافته دیگری در یک زاویه معین است و نیز هر سه حالت:
تصویر

نیز یک حالت محسوب محسوب می شوند. پس تعداد کل حالات متمایز برابر دو عدد است.
تصویر

به عبارت دیگر می توان A را یکجا قرار داده و B و C را در اطراف او نشاند. این کار به !2=!(2-3) طریق رخ می دهد.

نتیجه: در حالت کلی برای محاسبه جایگشت های دوری n شی دو به دو متمایز ابتدا یکی آنها را ملاک قرار داذه(فرق نمی کند کدام را) و سپس n-1 شی باقی مانده را به !(n-1) حالت به دور او قرار می دهیم.
پس تعداد حالات جایگشت دوری n شی دو به دو متمایز برابر است با:


میدان
میدان در ریاضیات و جبر مجرد به معنای ساختاری جبری است که در آن چهار عمل جمع و تفریق و ضرب و تقسیم بجز تقسیم بر صفر تعریف شده باشد و هر دو عمل خاصیت جابجایی داشته باشند. به بیان دیگر، میدان یک حلقه جابجایی است که اعضای غیر صفر آن تشکیل یک گروه بدهند. اگر شرط جابجایی را برداریم، به جای میدان، حلقه تقسیم خواهیم داشت.<

حلقه

هرگاه یک مجموعه ناتهی باشد ، گوییم مجموعه تحت دو عمل جمع و ضرب یک حلقه است ، هر گاه:
  1. یک گروه جابجایی باشد
  2. یک نیمگروه باشد.
  3. خاصیت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از چپ و راست در برقرار باشد.

حلقه جابجایی

هرگاه حلقه تحت عمل ضرب دارای خاصیت جابجایی باشد ، گوییم یک حلقه جابجایی(آبلی ) است.

مقسوم علیه صفر

هرگاه یک حلقه باشد ، عنصر را یک مقسوم علیه صفر نامند ، هرگاه عضوی مانند در حلقه وجود داشته باشد ، بطوریکه.
در این تعریف اگر ، آنگاه را مقسوم علیه چپ صفر می‌نامد و اگر ،آنگاه را مقسوم علیه راست صفر می‌نامند.

واحد حلقه

اگر یک حلقه باشد،گوییم عنصری چون ،یک حلقه(واحد حلقه) است،هرگاه تحت عمل ضرب، عضو همانی باشد. یعنی:

اگر حلقه ای دارای عنصر واحد باشد، گوییم حلقه یکدار است و این یک را با نماد نشان می‌دهیم.

حلقه بدیهی

حلقه ای که فقط شامل عنصر صفر باشد، حلقه بدیهی نامیده می‌شود.

نکته

اگر ، حلقه بدیهی باشد، یعنی ، آنگاه .

قضیه

اگر یک حلقه و باشند ،آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
1

2

3

4

5


عنصر یکال

هر گاه یک حلقه یکدار باشد، عنصر را عنصر یکال می‌نامیم ، هرگاه دارای وارون ضربی باشد .یعنی:

نکته

  1. در حلقه ، عنصر یکال است، هرگاه .
  2. عنصر یک هر حلقه منحصر بفرد است، اما یکال حلقه ، یکتا نیست.
  3. اگر یک حلقه مخالف صفرو یکدار نیز باشد، آنگاه .
  4. هر گاه حلقه یکدار و عنصر یکال باشد، آنگاه مقسوم علیه صفر نیست.






آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :